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□ 上下级关系数

　　法国管理顾问格拉丘纳斯（V. A. Graicunas）在1923年首次发表的一篇论文中，分析了上下级之间可能存在的关系，并提出了一个用来计算在任何管理宽度下，可能存在的人际关系数的数学模型。他把上下级关系分为三种类型：
　　1. 直接的单一关系。指上级直接地、个别地与其直属下级发生联系
　　2. 直接的组合关系。存在于上级与其下属人员的各种可能组合之间的联系
　　3. 交叉关系。即下属彼此打交道的联系
　　如果A有三个下属B、C、D，那么他们之间存在的这三种关系如下表所示：

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　　在表中，格拉丘纳斯认为类似A→B和C与A→C和B这样的关系是不一样的，因为其中有一个由“以谁为主”的问题造成的心理状态。

　　通过这三种上下级关系的分析，格拉丘纳斯认为，在管理宽度的算术级数增加时，主管人员和下书间可能存在的相互交往的人际关系数几乎将以几何级数增加。据此，他提出了一个可以用在任何管理宽度下计算上下级关系数目的经验公式：

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　　式中，C-存在的人际关系数
　　　　　n-管理宽度
　　按这个公式计算不同管理幅度下可能存在的人际关系数如表所示：

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　　由此可见，随着管理宽度的增加，上下级之间的相互关系数量也在急剧上升。这说明管理较多下属的复杂性。
　　衡量上下级关系复杂程度的标志有三个：
　　1、关系的数量。关系数量的多少和复杂程度成正比，数量越少则关系越简单，越多则越复杂；
　　2、相互接触的频率。他和上下级关系的复杂程度也是成正比的；
　　3、相互接触所需花费的时间。由于上下级关系复杂程度之所以影响管理幅度，原因在于复杂程度高则要求领导者付出更多的精力，即劳动。需要花费的时间越多，表明上下级关系越复杂，领导者为实现有效领导所需付出的劳动就越多，管理幅度的扩展就越会受到强有力的制约。

　　需要指出的是，格拉丘纳斯的这个公式没有涉及上下级关系发生的频次和密度，因而它的实用性受到了一定的限制。对一个主管人员来说，相互关系和所发生的频次和密度也应是在确定下属人数时所考虑的重要因素。

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